Origens da matemática 1

All_Gizah_Pyramids

Pirâmides de Gisé. Da esquerda para a direita, ao fundo, as pirâmides de Miquerinos (Menkau-Re), Quéfren (Khaf-Re) e Quéops (Khufu). As três pirâmides menores, à frente, são estruturas subsidiárias da pirâmide de Miquerinos. Foto: Ricardo Liberato. Data: 19 de junho de 2006. Fonte: All Gizah Pyramids. Disponibilizada por Wikimedia Commons.

Um conhecimento que antecedeu a escrita

Ninguém sabe quando a espécie humana adquiriu suas primeiras noções de matemática. Mas isso aconteceu, com certeza, antes do aparecimento da escrita. O homem pré-histórico era capaz de contar. E registrava a contagem entalhando um osso de animal com uma pedra afiada. Ossos entalhados, do Paleolítico Superior (período compreendido entre 40 mil e 10 mil anos atrás), foram encontrados na África e na Europa. Como o osso é bastante resistente, esses registros se preservaram até os dias atuais. Porém, entalhes semelhantes podem ter sido feitos em pedaços madeira em épocas ainda mais remotas, e desaparecido devido à decomposição do material. Um exemplo famoso de artefato entalhado é o Osso de Ishango, descoberto em 1960 no Congo.

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Duas vistas do Osso de Ishango, com seus entalhes. Segundo algumas pesquisadoras, esse artefato pré-histórico, com mais de 20 mil anos, era um calendário lunar, criado por mulheres.

A idade do Osso de Ishango é estimada em mais de 20 mil anos. Ele foi encontrado entre os vestígios de uma comunidade que vivia da caça, da pesca, da coleta de frutas e raízes e do cultivo de alguns vegetais. Trata-se da fíbula (osso da pata traseira) de um babuíno, com um pedaço afiado de quartzo preso em uma das pontas. O quartzo, provavelmente, servia para riscar outros objetos ou para tatuar o corpo humano. E o osso apresenta três fileiras de entalhes, com, respectivamente, 60, 48 e 60 marcas.

Inicialmente, os estudiosos pensaram que esses entalhes eram simples registros de contagem. Mas perceberam, depois, que eles continham informações matemáticas bem mais complexas. Por exemplo, uma das fileiras de 60 é formada por quatro grupos, com 11, 13, 17 e 19 entalhes. Ora, estes são exatamente os quatro números primos (isto é, divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos) que existem entre 10 e 20. A outra fileira de 60 também é formada por quatro grupos, com 9, 19, 21 e 11 entalhes. Aqui, a característica notável é que esses números correspondem a 10-1, 20-1, 20+1 e 10+1. A fileira de 48 é formada por oito grupos, com 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 e 7 entalhes. Neste caso, o destaque é que o segundo número é o dobro do primeiro, o quarto é o dobro do terceiro, o sexto é a metade do quinto, e o oitavo é o sétimo acrescido de duas unidades, sendo 2 exatamente o fator e o divisor das multiplicações e divisões mencionadas.

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Diagrama dos entalhes. As três fileiras de entalhes do Osso de Ishango apresentam relações matemáticas bem mais complexas do que a simples contagem.

O total de entalhes das três fileiras (60 + 48 + 60) é igual a 168. E 168 corresponde a seis vezes 28. Isso não parece ser uma simples coincidência, pois 28 é exatamente o número de dias do ciclo da lua (com suas quatro fases: nova, crescente, cheia e minguante). Vários pesquisadores acreditam, hoje, que o Osso de Ishango era, na verdade, um calendário lunar, com o qual se podia contar a duração de seis meses. E não é só isso: acreditam também que tal calendário, o mais antigo até agora descoberto, tenha sido criado por mulheres! Isso porque existe uma relação entre o ciclo menstrual, que também dura 28 dias, e o ciclo lunar. Além do que, em uma sociedade na qual os homens saíam para caçar enquanto as mulheres se dedicavam à coleta e aos cultivos (atividades que dependiam do ritmo cíclico das estações), a contagem do tempo era um assunto de interesse predominantemente feminino.

Pelo que se sabe acerca das sociedades chamadas de “primitivas”, é muito provável que, além de ser um artefato prático, o Osso de Ishango fosse também um objeto de uso religioso, empregado em rituais mágicos, e ainda uma espécie de cetro ou insígnia de poder. Nesse caso, as mulheres que, geração após geração, o utilizaram seriam não apenas precursoras das pessoas que chamamos atualmente de matemáticas, mas também sacerdotisas e governantes da comunidade.

[Um texto mais elaborado sobre o Osso de Ishango pode ser lido, neste blog, em https://josetadeuarantes.wordpress.com/2016/02/25/as-precursoras-do-pensamento-matematico/]

A sabedoria das mais antigas civilizações da Índia e da Mesopotâmia

As descobertas da humanidade pré-histórica foram transmitidas de mãe para filha ou de pai para filho ao longo de milênios. Muitas se perderam, devido ao desaparecimento das pequenas comunidades humanas nas quais surgiram – desaparecimento provocado por catástrofes naturais ou por guerras entre grupos rivais. Outras se enriqueceram, graças ao contato entre comunidades diferentes, cada uma transmitindo à outra aquilo que sabia.

Entre 3500 a.C. e 2500 a.C, duas grandes civilizações alcançaram seu apogeu no Oriente: a civilização harappana, que se desenvolveu em torno dos rios Indo e Saraswati (hoje desaparecido), no noroeste do subcontinente indiano (região que atualmente faz parte do Paquistão); e a civilização suméria, que se desenvolveu entre os rios Eufrates e Tigre, no sudeste da Mesopotâmia (região que atualmente faz parte do Iraque). Surgiram muito tempo antes e levaram de mil a dois mil anos, ou talvez mais, até atingir seu alto grau de desenvolvimento.

Vários historiadores acreditam que essas duas civilizações eram irmãs, pois mantinham um intenso comércio entre si (como prova a grande quantidade de produtos harapannos encontrados em escavações arqueológicas realizadas na Mesopotâmia), e possuíam idiomas que, segundo alguns linguistas, derivavam de uma língua comum, que desapareceu: o proto-dravidiano. Idiomas do grupo dravidiano continuam em uso. Um deles, o tâmil, é falado por mais de 60 milhões de pessoas no sul da Índia.

Harappanos e sumérios construíram grandes cidades e edifícios imponentes. Cidades harappanhas como Mohenjo-Daro possuíam ruas planejadas que se cruzavam em ângulos retos, sistemas de água e esgoto, e até edifícios públicos destinados aos banhos. As cidades sumérias não ficavam atrás, abastecidas por plantações irrigadas, dotadas de uma avançada estrutura administrativa e conectadas por um sistema de correio. Tudo isso só foi possível, é claro, graças ao desenvolvimento da matemática realizado por esses povos.

As duas civilizações entraram em colapso mais ou menos na mesma época. Os harappanos devido, provavelmente, a um sério desequilíbrio ecológico, que provocou o ressecamento e a extinção do rio Saraswati. Os sumérios devido a invasões estrangeiras. Pouco depois de 2000 a.C., os babilônios conquistaram militarmente a Mesopotâmia. Felizmente, como já aconteceu muitas vezes na história, o povo vencedor, mais forte, porém menos civilizado, acabou aprendendo com o povo derrotado. E, graças ao que assimilaram dos sumérios, os babilônios se tornaram os maiores matemáticos da Antiguidade, antes dos gregos.

Mohenjo-daro Wiki

Grande Banho de Mohenjo-Daro. Este edifício público era rodeado por colunas e abastecido com água corrente, que entrava por canaletas e saía por meio de esgotos subterrâneos. A construção ao fundo é uma estupa budista, muito posterior à época da civilização harappana. Foto: Saquib Qayyum / Wikimedia Commons.

As brilhantes contribuições dos babilônios

O sistema de numeração babilônico é de origem suméria. Ao invés de usar uma base decimal, como a utilizada atualmente em quase todo o mundo, ele empregava uma base sexagesimal, isto é, derivada do número 60. Estamos tão acostumados com o sistema decimal (que nasceu das contagens feitas com os 10 dedos das duas mãos) que qualquer sistema que utilize outra base sempre nos parece esquisito. Mas a forma como contamos o tempo – com o dia divido em 24 horas, cada hora em 60 minutos, e cada minuto em 60 segundos – emprega o sistema sexagesimal, herdado dos sumérios.

Um grande avanço feito pelos babilônios foi tornar tal sistema posicional. Isso significa que, na numeração babilônica, o mesmo símbolo podia representar diferentes valores, de acordo com a posição que ocupava no número. Para avaliar a praticidade dessa invenção, basta lembrar que nosso sistema decimal também é posicional. Quando escrevemos um número como 222, por exemplo, o algarismo 2 representa duas unidades na posição à direita, duas dezenas na posição central, e duas centenas na posição à esquerda. Ou seja, passa a valer 10 vezes mais cada vez que é deslocado uma casa para a esquerda. Isso constitui uma tremenda vantagem, pois torna possível escrever qualquer número com apenas 10 símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0). O sistema sexagesimal babilônico empregava um número ainda menor de símbolos: apenas dois.

Numerais babilônicos

Numerais babilônicos. Os numerais de 1 a 59 são escritos por meio de uma combinação de apenas dois símbolos (a cunha vertical, usada para o 1, e a cunha horizontal, usada para o 10).

Para representar o número 61, por exemplo, os babilônios utilizavam duas cunhas verticais em seguida. A da direita correspondia ao 1 e a da esquerda, que valia 60 vezes mais, correspondia ao 60. A representação do número 61 era, portanto, muito parecida com a do número 2, que também era feita por meio de duas cunhas verticais. A diferença é que, no caso do 2, essas cunhas encostavam uma na outra. E, no caso do 61, não. O número 60, porém, não tinha representação, pois, como vários sistemas de numeração antigos, o sistema babilônico original não possuía um símbolo para o zero. Os próprios babilônios inventaram esse símbolo. Mas isso só aconteceu muito tempo mais tarde.

Outra brilhante invenção dos babilônios foi a da tabuada. Duas tabuadas do ano 2000 a.C. foram encontradas em um sítio arqueológico localizado às margens do rio Eufrates. Uma fornecia os quadrados dos números de 1 a 59. A outra fornecia os cubos dos números de 1 a 32. Vamos lembrar que o quadrado é obtido quando multiplicamos um número por ele mesmo (ex: 32 = 3 x 3 = 9). E que o cubo é obtido quando multiplicamos o número duas vezes por ele mesmo (ex: 33 = 3 x 3 x 3 = 27).

Mas os conhecimentos matemáticos dos babilônios eram muito mais avançados do que isso. Eles sabiam, por exemplo, que um triângulo de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades possuía um ângulo reto (isto é, igual a 90 graus, que correspondem à quarta parte da circunferência). E que a área do quadrado construído sobre o lado maior era igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados menores. Esse triângulo costuma ser chamado de “egípcio”, porém não temos provas de que os egípcios dos períodos mais antigos realmente o conhecessem. Os babilônios, porém, o conheciam, como provam inscrições de cerca de 1850 a.C. que se referem explicitamente a ele. O conhecimento desse triângulo foi o ponto de partida do Teorema de Pitágoras, que seria enunciado e demonstrado pelos gregos cerca de 1300 anos mais tarde.

Triângulo babilônico

Por volta de 1850 a.C., os babilônios já sabiam que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possuía um ângulo reto. E que a área do quadrado construído sobre o lado maior era igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados menores. Desse conhecimento surgiria, muito mais tarde, o Teorema de Pitágoras.

Nessa mesma época, isto é, por volta de 1850 a.C., os babilônios eram capazes de calcular, com grande precisão, o valor da diagonal de um quadrado a partir do valor do lado. Para isso, eles multiplicavam a medida do lado por um número que correspondia à raiz quadrada de 2. O notável, neste caso, é que a raiz quadrada de 2, representada pelo símbolo √2, é um número irracional. Isso significa que ela pode ser calculada infinitamente, sem que se chegue a um resultado definitivo. Os computadores da atualidade são capazes de calcular a raiz quadrada de 2 com trilhões de casas decimais. Uma ótima aproximação, com nove casas decimais, é 1,414213562. O valor utilizado pelos babilônios era 1,414212963. Ou seja, eles acertaram até a quinta casa decimal e chegaram bem perto na sexta: um resultado simplesmente espantoso para a época!

Todos esses conhecimentos de geometria, sobre triângulos e quadrados, eram utilizados em obras de engenharia e arquitetura (como a construção de grandes edifícios e canais de irrigação), na demarcação de terras agrícolas, e em medições astronômicas.

A matemática que possibilitou a construção das pirâmides

Ao longo do rio Nilo, no nordeste da África, um grande império se formou, a partir da fusão de dois reinos, por volta de 3000 a.C.: o Egito. Na estação chuvosa, o rio inundava suas margens. Depois, ao baixar, deixava-as cobertas de um humo extremamente fértil. Esse processo cíclico, que se repetia regularmente todo ano, garantia a produtividade do solo e a alimentação do povo. A necessidade de calendários confiáveis, que permitissem prever os ciclos naturais com exatidão, estimulou a astronomia. E a demarcação precisa das terras agrícolas, a escavação inteligente de canais para irrigar as plantações, a construção de celeiros destinados ao armazenamento dos cereais, o controle rigoroso dos estoques e a cobrança de taxas incentivaram a agrimensura, a engenharia e a administração. Juntas, astronomia, agrimensura, engenharia e administração promoveram um notável desenvolvimento da matemática, que, por sua vez, possibilitou a realização de grandes obras arquitetônicas, com a edificação de templos, túmulos e palácios.

A adoção da escrita e dos numerais, para registrar os relatos e as contagens, aconteceu mais ou menos na mesma época da formação do império, em torno de 3000 a.C. E a construção da pirâmide de Quéops ocorreu cerca de 350 anos mais tarde, por volta de 2650 a.C. Essa obra colossal, que encheu de admiração os povos da Antiguidade, ainda hoje surpreende por sua beleza e exatidão. Em 2776 a.C., antes portanto da grande pirâmide, os egípcios já haviam elaborado um calendário solar de 365 dias. Posteriormente, esse calendário foi substituído por outro, ainda mais preciso, com 365 dias e seis horas.

Os egípcios adotaram, desde cedo, o sistema decimal de numeração. Seus numerais utilizavam, porém, símbolos complicados, que não eram tão práticos quanto os babilônicos.

 

Numerais egípcios

Exemplos de numerais egípcios. Bem mais complicados do que os babilônicos

 

Frações simples, com numeradores iguais a 1, também eram conhecidas. Porém, as únicas frações com numeradores diferentes de 1 utilizadas eram as de dois terços (2/3) e três quartos (3/4).

Embora não possuíssem uma matemática tão desenvolvida quanto a dos babilônios, os egípcios do período mais antigo realizaram algumas façanhas matemáticas notáveis. A partir do valor do raio, conseguiam calcular, por aproximação, a área do círculo. E, multiplicando a área do círculo pela altura, determinavam o volume do cilindro. Esse tipo de cálculo tinha enorme valor prático, pois muitos dos silos utilizados para estocar cereais possuíam formato cilíndrico. Aliás, esta é uma característica fundamental da antiga matemática egípcia: ela se voltava para a solução de problemas práticos e específicos e não tinha o caráter abstrato e genérico que a matemática grega iria adquirir, muitos séculos mais tarde.

Sabemos, desde os gregos, que se obtém a área do círculo multiplicando o valor do raio ao quadrado pelo número pi (a fórmula é A = π.r2, onde A representa a área; r, o raio;e π, o número pi). Assim como a raiz quadrada de 2, o número pi (π) é um irracional, com infinitas casas decimais. A aproximação que utilizamos frequentemente, com apenas quatro casas decimais, é 3,1416. O que os egípcios fizeram foi empregar um método prático cujo resultado equivalia a multiplicar o valor do raio ao quadrado pelo número 3,1666 – o que foi uma aproximação bastante satisfatória. Volumes de pirâmides e troncos de pirâmides, mais fáceis de calcular, eram determinados com maior exatidão.

(Continua)

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Nota

Este texto, que escrevi no início de 2011, faz parte do primeiro capítulo de um livro de popularização sobre a história da matemática, que, por motivos editorias, não foi publicado. As informações que contém foram checadas. Mas sua apresentação não segue os cânones rigorosos das publicações acadêmicas, com citações de fontes etc. Trata-se, na verdade, de um material destinado a estimular o interesse de jovens estudantes, ou a proporcionar uma leitura rápida e agradável para pessoas que, sem obrigações escolares, simplesmente gostem de matemática. Não sei se o resultado atende a um objetivo ou outro. Como o capítulo original é longo demais para leitura na tela do computador, resolvi dividi-lo em três partes e postar uma de cada vez. Esta é a primeira.